Algebra de Matrices

Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Hay tres tipos de componentes en el sistema de ecuaciones. El primero es el conjunto de coeficientes amn; el segundo es el conjunto de variables x1,…xm; y el tercero es el conjunto de términos constantes y1,…ym.

De acuerdo a lo anterior, estos arreglos constituyen la matriz. Un ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales:

Dicho sistema de ecuaciones se puede escribir;

La matriz se define como un arreglo rectangular de números, parámetros o variables. El número de renglones y el número de columnas en una matriz juntos definen la dimensión de la matriz. La matriz anterior, contiene “m” renglones y “n” columnas, se dice que es de dimensión m x n. En el cual el número de renglones preceden al número de columnas, es por eso que se ordenan los subíndices de forma amn.

Algunas matrices pueden contener sólo una columna, a esta clase de matrices se les denomina de vectores columna, es decir, m x 1. Mientras que las matrices que poseen solo una fila, se les denomina vector renglón, es decir, de una forma 1 x n.

Ejemplo:

Vector Renglón (1xn) Vector Columna (mx1)

Con orden 1 x 4 Con orden 4 x 1



Datos importantes

1. Al realizar la matriz, se denotan con letras mayúsculas, en este caso, tomamos la letra A, mientras que los elementos de las mismas, por letras minúsculas, en este caso son x e y.

2. Las matrices se originan, a partir, de un sistema de ecuaciones lineales.

Clases de Matrices

Matriz Cuadrada
Es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas. Entonces m = n.

Ejemplo:

Matriz cuadrada 2 x 2 Matriz cuadrada 3 x 3



Matriz Identidad

Se define como una matriz cuadrada con unos “1”, en su diagonal principal y ceros en cualquier otra parte. Se denota mediante el símbolo I, o In , en donde n sirve para indicar su dimensión de renglón, así como de columna. Un ejemplo:

IA= AI = A

Matriz Transpuesta

Dada una matriz A m x n la transpuesta de A es AT de orden n x m, donde se intercambia a cada renglón por cada columna. Un ejemplo:

Propiedades

(A’) = A
(A+B)’ = A’+B’
(AB)’ = B’A’



Matriz Nula o cero

Denotada por 0, juega el papel del numero cero. Entonces una matriz nula es simplemente una matriz cuyos elementos son cero, además no esta restringida a ser cuadrada. Un

Matriz Inversa

1. El número real cero sirve como una identidad adictiva: para cada número a, a + 0 = 0 + a = a. Por otra parte, para cada número a hay un número único b con la propiedad a + b = 0.

2. El número real uno sirve como una identidad multiplicativa: para cada número a, ax1 = 1xa = a. por otra parte, para cada número a diferente de cero, hay un número b único con la propiedad ab = 1.

Una matriz nxn cuyos elementos son cero sirve como una identidad aditiva para el conjunto de matrices cuadradas de nxn. Simbolizaremos esta matriz por Zn. Así, para cada matriz A de nxn tenemos A+Zn = Zn+A = A. Si A es una matriz arbitraria de nxn, también es fácil encontrar una matriz B que satisface A+B =Zn. Simplemente cambie de signo de cada elemento en A, esto es B = -A.

EJEMPLO:



Calcule A+Z2 y A+ (-A) SI



SOLUCIÓN





Usted podría esperar que la identidad multiplicativa para el conjunto de matrices cuadradas de nxn fuera aquella matriz de nxn cuyos elementos sean iguales a uno. Esta conjetura es errónea, porque




EJEMPLOS:
Tres maquinas de bebidas gaseosas se localizan en un almacén. El contenido de estas máquinas se presenta en una matriz de inventario:





Los elementos indican el número de tarros de cada gaseosa que contiene cada máquina. Suponga que la matriz de ventas para el día siguiente es:



Donde los elementos indican el número de tarros de cada gaseosa que vende cada máquina. Al final del día la matriz de inventario es:





Si cada máquina se recarga con 40 tarros de cola, 25 tarros de naranja y 20 tarros de uva, entonces la matriz de inventarios:





MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Antes consideramos la multiplicación de matrices arbitrarias, primero haremos una multiplicación de una matriz de fila por una matriz de columna con el mismo número de elementos. El resultado será un número. Para calcular este número sumamos los productos obtenidos multiplicando el primer elemento de la matriz de fila por el primer elemento de la matriz de columna, el segundo de fila por el segundo de columna y así sucesivamente. Formalmente si,

EJEMPLO:

DETERMINANTES

En un tratamiento más completo de las matrices haremos la descripción de un método para encontrar el conjunto solución de la ecuación general AX=B. En este tratado restringiremos nuestra atención al caso especial más importante: la ecuación de matrices AX=B donde la matriz coeficiente A es cuadrada. Nuestra técnica de solución descansa sobre el concepto del determinante de una matriz cuadrada. El determinante de una matriz cuadrada A, que será simbolizado por det A es un número real calculado de los elementos de A. por ejemplo si A es una matriz de 2x2

Entonces, det A= a11 a22 – a21 a12. El determinante de una matriz cuadrada se simboliza también remplazando los corchetes por dos barras verticales. Así,

La siguiente es una tabla guía para no equivocarnos de signos.

EJEMPLO:
Encuentre det A por expansión a lo largo de la segunda columna si




Solución:

Mirando la segunda columna de nuestro arreglo de signos vemos que el primero y el tercer producto requieren cambios de signo. Por tanto

El determinante de una matriz de 4x4 se calcula en una forma análoga cambiando los cuatro menores que corresponden a los elementos de una fila o columna fijas. Nótese que un menor de 4x4 es un determinante 3x3 y no de 2x2. Continuando en esta forma calculamos el determinante de una matriz 5x5 en términos de cinco determinantes de 4x4 y así sucesivamente.

REGLA DE CRAMER

Ahora usaremos los determinantes para resolver un sistema de n ecuaciones lineales con n variables x1, x2, x3, …………xn. En forma equivalente explicaremos cómo resolver la ecuación matricial AX=B, donde A es una matriz nxn; B es un columna nx1 y X es una matriz columna de incógnitas nx1.

Para profundizar nuestro método consideremos la ecuación matricial.

En forma de ecuaciones nuestra ecuación matricial será

Cada ecuación determina una línea sobre el plano. Hay tres posibilidades: (1) las líneas son las mismas; (2) las líneas son paralelas; (3) las líneas se encuentran exactamente en un punto. En el primer caso hay infinitas soluciones al sistema. En el segundo caso no hay ninguna. En el caso final hay exactamente una solución.

¿Cómo podemos saber si hay una única solución? Simplemente vemos si las líneas tienen diferentes pendientes o si son de igual pendiente, caso en el cual son idénticas o paralelas. Resolviendo para y en cada ecuación obtenemos

Las pendientes son iguales siempre que

Con la multiplicación en cruz esta ecuación llega a ser a11 a22 – a21 a12 = 0. Concluimos que las ecuaciones tienen solución única siempre que

Vamos a asumir que este determinante no es cero y tenemos solución única. Despejando x en las dos ecuaciones en la forma de pendiente intersección, tenemos

El cálculo similar nos lleva a

En resumen la ecuación matricial

Tiene solución única si y solamente si el determinante de la matriz coeficiente no es cero. En este caso

Nótese que ambas variables están calculadas tomando la razón de dos determinantes. El denominador en cada caso es justamente el determinante de la matriz coeficiente. El numerador de la primera variable x es el determinante de la matriz obtenida de la matriz coeficiente remplazando la primera columna por la columna con elementos b1 y b2. Igualmente el numerador de la segunda variable y es el determinante de la matriz obtenida de la matriz coeficiente remplazando la segunda columna por la columna con elementos b1 b2.

La regla de Cramer contiene la solución a un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.

EJEMPLO:

3x – y = 2
X + y = 5

Solución: en forma matricial nuestro sistema es




Así, det A = (3)(1) – (1)(-1) = 4. Ahora podemos calcular x, y como una relación de determinantes.

APLICACIONES ECONOMICAS

EJEMPLO 1:
Interprete los elementos de la siguiente matriz tecnológica.

Solución

La columna describe los insumos requeridos por la industria A. por cada dólar de producción, la industria A gasta 20 centavos de dólar de su propia producción y requiere 60 centavos de dólar de la otra industria. Igualmente, la industria B debe gastar 40 centavos de dólar de la producción de la industria A y 10 centavos de dólar de su propia producción para generar una producción de un dólar.

Si representamos el valor de la producción de cada industria como elementos de una matriz columna de 2x1 X, entonces el valor en dólares de la producción de cada industria que es convenido por industrias se describe por la matriz columna de 2x1 TX. La cantidad de cada producto que queda para consumidores no industriales es X – TX.

EJEMPLO 2:

Para la economía de dos industrias del ejemplo anterior.

A- Determine la matriz de Leontief I2 – T.
B- Calcule (I2 – T)-1
C- Si la producción de la industria A vale US$20.000 y la de la industria B US$ 33.000 se destina al uso no industrial, ¿cuál es la matriz columna de producción?
D- ¿Cómo distribuye la industria A su producción determinada en (C )?

SOLUCIÓN:
A-)

B-) Puesto que det (I2 – T) = (0,8)(0,9) – (-0,4)(0,6) = 0,48; la fórmula para la matriz inversa de 2x2 es:

C-) Nuestra matriz columna de demanda final D es:

Multiplicando D por la inversa de la matriz de Leontief para hallar la matriz columna de producción

Vemos que la economía debe producir US$ 65.000 del primer producto y US$80.000 del segundo.

D-) El valor de la producción de la industria A es US$65.000. se usa (0,2)(65.000) = US$13.000 de los US$65.000 en sí misma; suministra (0,4)(80.000) = US$32.000 a la industria B y destina US$20.000 a los consumidores no industriales.

EJEMPLO 3:

Calcule la matriz columna de producción para la economía para el ejemplo 2 si la demanda final por la producción de la industria A se incrementa en 10% y la demanda final por la producción de la industria B se incrementa en 20%.

SOLUCIÓN:

La nueva matriz columna de demanda final es

Esta metodología que hemos empleado para analizar una economía de dos industrias se aplica igualmente para una economía d n industrias. Así, teniendo una matriz tecnológica T de nxn, para la economía y una matriz columna en nx1 de demanda final D, la matriz de producción X para la economía es

X = (In – T)-1 D