Las matrices de insumo-producto, desarrollada por Wassaly Leontief, "premio Nobel de economia de 1973". Indican las interrelaciones que se dan entre la oferta y la demanda en los diferentes sectores de una economia durante algun periodo. La frase de "insumo-producto" se utiliza porque las matrices muestran los valores de los productos de cada industria que son vendidos como insumo, tanto a las industrias como a los consumidores finales. El método input-output o también llamado análisis intersectorial nos sirve para medir y analizar las relaciones de interdependencia reciproca que existen entre los diversos sectores de producción y consumo que integran la economía de una nación. Si bien aplicase posteriormente al estudio de sistemas más reducidos (áreas metropolitanas, grandes empresas).
Se define la interdependencia existente entre los diferentes sectores que componen el sistema en cuestión, mediante una serie de ecuaciones lineales cuyos coeficientes numéricos representan las características estructurales propias del mismo. El valor de estos coeficientes se determina empíricamente; y en el caso de que los mismos se refirieran ala economía de una nación se obtienen generalmente de la tabla estadística input-output.
Leontief trata con esta pregunta particular:
"¿Que nivel de producción debe tener cada una de las n industrias en una economia a fin de satisfacer la demanda total de un determinado producto?"
Estructura del Modelo
Datos importantes de la matriz insumo-producto
• Cada industria aparece en un renglón y en una columna.
• El renglón muestra las compras del producto de una industria por parte de los sectores industriales y por los consumidores finales (demanda final).
• Las entradas representan lo que demanda la industria, en los diferentes sectores.
• La suma de las entradas en su renglón es igual a la suma de las entradas en su columna. Esto es, el valor de la producción total de A es igual al valor de los insumos totales de A.
Ejemplo:
La industria A (productor), vende a su misma industria 10 unidades, a B 20 unidades y 25 directamente van a la demanda final. Y lo mismo se hace con la industria B. Sumando los renglones de lo que vende la industria A (10+20+25=55), es igual a la suma de la columna de la industria de A (10+30+15=55).
Nota:
Ya partiendo de que la persona esta básicamente informada acerca de los elementos de la matriz; partiremos ahora si, con el desarrollo de las aplicaciones de Insumo-Producto.
• El objetivo de la matriz insumo-producto; permite estimar la producción total de cada sector industrial si existe un cambio en la demanda final, mientras la estructura básica de la economía permanece igual. Esta importante suposición significa que para cada, la cantidad gastada en cada insumo por cada dólar del producto, debe permanecer fija.
Aplicación Insumo-Producto
1. Dada la siguiente matriz de insumo-producto:
encontrar la matriz de producción, si la demanda final cambia a 600 para acero y 805 para carbón. Encuentre el valor total de los otros costos de producción que esto implica.
Solución
• Se suman las entradas de la primera columna. El resultado anterior se divide por cada una de las entradas de la primera columna. De igual modo se realiza el procedimiento con las columnas restantes. Ya no se toma los valores de la demanda final. (A es acero y C carbón).
Simplificando términos tenemos:
Así, por cada dólar de producción, la industria de acero gasta 1/6(=$0.166) en su propia industria; 1/3(=$0.33) en la industria de carbón; y por ultimo 1/2(=$0.50) en otros costos de producción.
Las entradas en la matriz se llaman Coeficientes de insumo-producto. La suma de cada columna es 1.
• Hasta ahora solo hemos encontrado los coeficientes de insumo-producto. Nos dicen; que hay que hallar la matriz de producción, si la demanda final cambia de 600 para acero y 805 para carbón.
Entonces sea XA y XB los nuevos valores de producción total para las industrias A y B; ahora tenemos:
Así, tenemos;
XA= 1/6 XA+ 1/3 XC+ 600
XB= 1/3 XA + 2/15 XC + 805
En ecuación matricial
• Aplicaremos operaciones matriciales, para hallar los nuevos valores de producción de ambas industrias. Lo anterior eran pasos muy específicos, para que entendieran de donde salían estas formulas; ahora si empezaremos a desarrollar el ejercicio.
1er Paso.
(I - A): Se conoce como la matriz Leontief. Es restar la matriz de coeficientes A, a la matriz identidad.
(I – A)
2do Paso. Encontrar la inversa a la matriz, de coeficientes A; para hallar la nueva producción. Hay dos métodos para hallar la matriz inversa
1er Método
2do Método
1. Primero que todo se calcula el determinante; ∆ = (5/6*13/15) - (-1/3*-1/3) = 11/18
2. Se cambia de puesto los números solo de la diagonal principal, en este caso (13/15 pasa al lugar donde estaba 5/6, y este pasa al otro lado). Y la otra diagonal (-1/3; - 1/3), cambian de signo los datos.
3. Por ultimo, al dividir entre la ∆ (determinante) se obtiene
Como podemos ver por los dos métodos se llegan a un mismo resultado.
• X = ( I – A )-1 * C
Esta es la producción, cuando la demanda final cambia, en las dos industrias. Para Acero fue de 1290 y para Carbón 1425. Analizando los resultados, que fueron afectados por el cambio en la demanda; la producción de Acero subió en 90 unidades; mientras que la producción de la industria de Carbón, al disminuir su demanda, disminuye su oferta (producción).
b) Encontrar el valor total de los otros costos
Si se acuerdan al principio del ejercicio; nos dan los otros costos de producción, que nos servirá de ayuda para poder encontrar estos valores totales, que implica el cambio en la demanda y a su vez en la producción.
Entonces llamaremos P, a los otros costos de producción;
PA = 1/2 XA = 645 (Otros costos de la industria de acero)
PC = 8/15 XC = 760 (Otros costos de la industria de carbón)
El valor total de otros costos de producción es de 1405 (645+760=1405). Analizando los otros costos, en ambas industrias, la de acero aumento de 600 a 645, debido a que su producción aumento; pasa todo lo contrario con la industria de carbón, que bajan sus otros costos de 800 a 760, debido a que su producción disminuyo, que a su vez fue provocada por la disminución de la demanda.
