Aplicación de Matrices

EJERCICIO

Una empresa textil fabrica pantalones de tres marcas distintas A, B, C. Para ello utiliza tres tipos diferentes de tela: algodón, poliéster, y de elastano. La tabla de producción por unidad es:







Sabiendo que la cantidad de tela disponible es: 160 unidades de algodón, 240 de poliéster y 220 de elastano. Con esta información realizar:

1. Pasar los datos a un sistema matricial.

2. Hallar la cantidad de pantalones que podemos fabricar de cada marca agotando la totalidad de las telas.

3. Suponiendo que el precio de tipo A es de 80.000 pesos, el tipo B es de 100.000 y el de tipo de C es de 110.000. Cuales son los ingresos de esta empresa textil por cada tipo de pantalón y el total de estos.

4. En la producción de pantalones, los tres tipos de telas tienen un costo de 5.000. Hallar los costos de la empresa textilera.

5. La empresa quiere saber si esta obteniendo beneficios o pérdidas económicas en este mercado de pantalones. Es conveniente que esta empresa se retire del mercado o siga en él .Porque?

Favor enviar la respuesta al correo:

cristhian_0226@hotmail.com

Algebra de Matrices

Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Hay tres tipos de componentes en el sistema de ecuaciones. El primero es el conjunto de coeficientes amn; el segundo es el conjunto de variables x1,…xm; y el tercero es el conjunto de términos constantes y1,…ym.

De acuerdo a lo anterior, estos arreglos constituyen la matriz. Un ejemplo de sistemas de ecuaciones lineales:

Dicho sistema de ecuaciones se puede escribir;

La matriz se define como un arreglo rectangular de números, parámetros o variables. El número de renglones y el número de columnas en una matriz juntos definen la dimensión de la matriz. La matriz anterior, contiene “m” renglones y “n” columnas, se dice que es de dimensión m x n. En el cual el número de renglones preceden al número de columnas, es por eso que se ordenan los subíndices de forma amn.

Algunas matrices pueden contener sólo una columna, a esta clase de matrices se les denomina de vectores columna, es decir, m x 1. Mientras que las matrices que poseen solo una fila, se les denomina vector renglón, es decir, de una forma 1 x n.

Ejemplo:

Vector Renglón (1xn) Vector Columna (mx1)

Con orden 1 x 4 Con orden 4 x 1



Datos importantes

1. Al realizar la matriz, se denotan con letras mayúsculas, en este caso, tomamos la letra A, mientras que los elementos de las mismas, por letras minúsculas, en este caso son x e y.

2. Las matrices se originan, a partir, de un sistema de ecuaciones lineales.

Clases de Matrices

Matriz Cuadrada
Es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas. Entonces m = n.

Ejemplo:

Matriz cuadrada 2 x 2 Matriz cuadrada 3 x 3



Matriz Identidad

Se define como una matriz cuadrada con unos “1”, en su diagonal principal y ceros en cualquier otra parte. Se denota mediante el símbolo I, o In , en donde n sirve para indicar su dimensión de renglón, así como de columna. Un ejemplo:

IA= AI = A

Matriz Transpuesta

Dada una matriz A m x n la transpuesta de A es AT de orden n x m, donde se intercambia a cada renglón por cada columna. Un ejemplo:

Propiedades

(A’) = A
(A+B)’ = A’+B’
(AB)’ = B’A’



Matriz Nula o cero

Denotada por 0, juega el papel del numero cero. Entonces una matriz nula es simplemente una matriz cuyos elementos son cero, además no esta restringida a ser cuadrada. Un

Matriz Inversa

1. El número real cero sirve como una identidad adictiva: para cada número a, a + 0 = 0 + a = a. Por otra parte, para cada número a hay un número único b con la propiedad a + b = 0.

2. El número real uno sirve como una identidad multiplicativa: para cada número a, ax1 = 1xa = a. por otra parte, para cada número a diferente de cero, hay un número b único con la propiedad ab = 1.

Una matriz nxn cuyos elementos son cero sirve como una identidad aditiva para el conjunto de matrices cuadradas de nxn. Simbolizaremos esta matriz por Zn. Así, para cada matriz A de nxn tenemos A+Zn = Zn+A = A. Si A es una matriz arbitraria de nxn, también es fácil encontrar una matriz B que satisface A+B =Zn. Simplemente cambie de signo de cada elemento en A, esto es B = -A.

EJEMPLO:



Calcule A+Z2 y A+ (-A) SI



SOLUCIÓN





Usted podría esperar que la identidad multiplicativa para el conjunto de matrices cuadradas de nxn fuera aquella matriz de nxn cuyos elementos sean iguales a uno. Esta conjetura es errónea, porque




EJEMPLOS:
Tres maquinas de bebidas gaseosas se localizan en un almacén. El contenido de estas máquinas se presenta en una matriz de inventario:





Los elementos indican el número de tarros de cada gaseosa que contiene cada máquina. Suponga que la matriz de ventas para el día siguiente es:



Donde los elementos indican el número de tarros de cada gaseosa que vende cada máquina. Al final del día la matriz de inventario es:





Si cada máquina se recarga con 40 tarros de cola, 25 tarros de naranja y 20 tarros de uva, entonces la matriz de inventarios:





MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Antes consideramos la multiplicación de matrices arbitrarias, primero haremos una multiplicación de una matriz de fila por una matriz de columna con el mismo número de elementos. El resultado será un número. Para calcular este número sumamos los productos obtenidos multiplicando el primer elemento de la matriz de fila por el primer elemento de la matriz de columna, el segundo de fila por el segundo de columna y así sucesivamente. Formalmente si,

EJEMPLO:

DETERMINANTES

En un tratamiento más completo de las matrices haremos la descripción de un método para encontrar el conjunto solución de la ecuación general AX=B. En este tratado restringiremos nuestra atención al caso especial más importante: la ecuación de matrices AX=B donde la matriz coeficiente A es cuadrada. Nuestra técnica de solución descansa sobre el concepto del determinante de una matriz cuadrada. El determinante de una matriz cuadrada A, que será simbolizado por det A es un número real calculado de los elementos de A. por ejemplo si A es una matriz de 2x2

Entonces, det A= a11 a22 – a21 a12. El determinante de una matriz cuadrada se simboliza también remplazando los corchetes por dos barras verticales. Así,

La siguiente es una tabla guía para no equivocarnos de signos.

EJEMPLO:
Encuentre det A por expansión a lo largo de la segunda columna si




Solución:

Mirando la segunda columna de nuestro arreglo de signos vemos que el primero y el tercer producto requieren cambios de signo. Por tanto

El determinante de una matriz de 4x4 se calcula en una forma análoga cambiando los cuatro menores que corresponden a los elementos de una fila o columna fijas. Nótese que un menor de 4x4 es un determinante 3x3 y no de 2x2. Continuando en esta forma calculamos el determinante de una matriz 5x5 en términos de cinco determinantes de 4x4 y así sucesivamente.

REGLA DE CRAMER

Ahora usaremos los determinantes para resolver un sistema de n ecuaciones lineales con n variables x1, x2, x3, …………xn. En forma equivalente explicaremos cómo resolver la ecuación matricial AX=B, donde A es una matriz nxn; B es un columna nx1 y X es una matriz columna de incógnitas nx1.

Para profundizar nuestro método consideremos la ecuación matricial.

En forma de ecuaciones nuestra ecuación matricial será

Cada ecuación determina una línea sobre el plano. Hay tres posibilidades: (1) las líneas son las mismas; (2) las líneas son paralelas; (3) las líneas se encuentran exactamente en un punto. En el primer caso hay infinitas soluciones al sistema. En el segundo caso no hay ninguna. En el caso final hay exactamente una solución.

¿Cómo podemos saber si hay una única solución? Simplemente vemos si las líneas tienen diferentes pendientes o si son de igual pendiente, caso en el cual son idénticas o paralelas. Resolviendo para y en cada ecuación obtenemos

Las pendientes son iguales siempre que

Con la multiplicación en cruz esta ecuación llega a ser a11 a22 – a21 a12 = 0. Concluimos que las ecuaciones tienen solución única siempre que

Vamos a asumir que este determinante no es cero y tenemos solución única. Despejando x en las dos ecuaciones en la forma de pendiente intersección, tenemos

El cálculo similar nos lleva a

En resumen la ecuación matricial

Tiene solución única si y solamente si el determinante de la matriz coeficiente no es cero. En este caso

Nótese que ambas variables están calculadas tomando la razón de dos determinantes. El denominador en cada caso es justamente el determinante de la matriz coeficiente. El numerador de la primera variable x es el determinante de la matriz obtenida de la matriz coeficiente remplazando la primera columna por la columna con elementos b1 y b2. Igualmente el numerador de la segunda variable y es el determinante de la matriz obtenida de la matriz coeficiente remplazando la segunda columna por la columna con elementos b1 b2.

La regla de Cramer contiene la solución a un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.

EJEMPLO:

3x – y = 2
X + y = 5

Solución: en forma matricial nuestro sistema es




Así, det A = (3)(1) – (1)(-1) = 4. Ahora podemos calcular x, y como una relación de determinantes.

APLICACIONES ECONOMICAS

EJEMPLO 1:
Interprete los elementos de la siguiente matriz tecnológica.

Solución

La columna describe los insumos requeridos por la industria A. por cada dólar de producción, la industria A gasta 20 centavos de dólar de su propia producción y requiere 60 centavos de dólar de la otra industria. Igualmente, la industria B debe gastar 40 centavos de dólar de la producción de la industria A y 10 centavos de dólar de su propia producción para generar una producción de un dólar.

Si representamos el valor de la producción de cada industria como elementos de una matriz columna de 2x1 X, entonces el valor en dólares de la producción de cada industria que es convenido por industrias se describe por la matriz columna de 2x1 TX. La cantidad de cada producto que queda para consumidores no industriales es X – TX.

EJEMPLO 2:

Para la economía de dos industrias del ejemplo anterior.

A- Determine la matriz de Leontief I2 – T.
B- Calcule (I2 – T)-1
C- Si la producción de la industria A vale US$20.000 y la de la industria B US$ 33.000 se destina al uso no industrial, ¿cuál es la matriz columna de producción?
D- ¿Cómo distribuye la industria A su producción determinada en (C )?

SOLUCIÓN:
A-)

B-) Puesto que det (I2 – T) = (0,8)(0,9) – (-0,4)(0,6) = 0,48; la fórmula para la matriz inversa de 2x2 es:

C-) Nuestra matriz columna de demanda final D es:

Multiplicando D por la inversa de la matriz de Leontief para hallar la matriz columna de producción

Vemos que la economía debe producir US$ 65.000 del primer producto y US$80.000 del segundo.

D-) El valor de la producción de la industria A es US$65.000. se usa (0,2)(65.000) = US$13.000 de los US$65.000 en sí misma; suministra (0,4)(80.000) = US$32.000 a la industria B y destina US$20.000 a los consumidores no industriales.

EJEMPLO 3:

Calcule la matriz columna de producción para la economía para el ejemplo 2 si la demanda final por la producción de la industria A se incrementa en 10% y la demanda final por la producción de la industria B se incrementa en 20%.

SOLUCIÓN:

La nueva matriz columna de demanda final es

Esta metodología que hemos empleado para analizar una economía de dos industrias se aplica igualmente para una economía d n industrias. Así, teniendo una matriz tecnológica T de nxn, para la economía y una matriz columna en nx1 de demanda final D, la matriz de producción X para la economía es

X = (In – T)-1 D

Modelo de Gastos Agregados

En economía se define como la igualdad entre gasto total y producto total. El gasto agregado es la clave económica es decir lo que familias piensan comprar determinando así lo que las empresas terminaran produciendo. El nivel de renta o ingreso real es el determinante fundamental del gasto agregado. También se le conoce como demanda agregada. Keynes desarrolla las primeras ideas de este modelo.

Antecedentes

En el pensamiento económico, los clásicos como John Stuart Mill, David Ricardo, Edgewotrh, Alfred Marshall, Thomas Malthus, y por supuesto Adam Smith, suponían que el mercado aseguraba el pleno empleo de los recursos de la economía, que no existía ningún tipo de irregularidades y si existían dichas alteraciones debido a factores internos (tales como, los precios, los salarios, la tasa de interés del mercado) los desviaban para estabilizar la economía. Lo que buscan los clásicos con el pleno empleo es alcanzar el punto máximo de producción, pues de esta manera todas las familias obtienen salarios que destinaran para el consumo, es decir para demandar todo lo que produce la economía en su conjunto. Por esta razón el economista francés Baptiste Say, afirma que “toda oferta crea su propia demanda”.

Siempre buscando el equilibrio de la oferta y la demanda, sin la intervención del Estado o por lo menos dicha actividad debe ser restringida, es decir los clásicos apoyados en la mano invisible de Smith buscaban lo que se conoce como el Laissez faire (que significa “Dejad Hacer”).

A principios del siglo XX, se presento un hecho marcado en la historia de la economía a saber, la gran depresión, no ocurrió una recesión, no fue una crisis, ¡aconteció una depresión! Los estudios de John Maynard Keynes permitieron deponer el pensamiento clásico, debido a que en esta época los niveles de desempleo alcanzaron niveles que los economistas clásicos nunca pensaron, lo que conllevo a que las familias no tuvieron recursos para adquirir lo que se producía. En ese momento los niveles de producción eran demasiado altos e inmediatamente los oferentes tuvieron que reducir la producción lógicamente prescindiendo de factores productivos, para ser más exacto de mano de obra, es decir, la tasa de desempleo empeoro. Con estos agravantes la oferta agregada seguía siendo mayor a la demanda agregada, en este momento Keynes propone la intervención del Estado para regular la economía principalmente mediante política fiscal.

Desde entonces la demanda agregada se hizo protagonista en la determinación de la producción, esto dio pie a iniciar el estudio de la demanda de una forma muy especifica y es lo que conocemos hoy como el modelo de gastos agregados.

Construcción del modelo

El modelo de gastos agregados se basa en cuatro supuestos que no permiten entender de mejor manera este modelo, a saber son:

1. El modelo se presenta dentro una economía cerrada, es decir, no tiene contacto con el sector externo.
2. Ademas de ser cerrada es una economía privada.
3. El ahorro es personal.
4. La depreciación y el ingreso neto de los factores extranjeros son cero.

Consumo y ahorro

El consumo es el principal componente del modelo de gastos agregado, solo debemos tener en cuenta el consumo privado pues como señalamos anteriormente prescindiremos del Estado. El ahorro es la parte del ingreso disponible que no se destina al consumo.

A = ID - C

Existe una clara relación entre el ingreso y el consumo que es similar a la que existe entre el ingreso y el ahorro. Esta relación es positiva, o mejor directa, a mayor ingreso disponible tanto el ahorro como el consumo aumentan, aumentando el consumo en una cuantía mayor a la del ahorro.

Diagrama de Consumo

Indica las cantidades que las familias planean consumir a cada nivel de ingreso disponible que prevalezca en un momento determinado. Las familias de bajo ingreso tienden a gastar una propensión mayor del ingreso que si tuvieran ingresos altos.

Diagrama de ahorro

Muestran la relación en las que las familias ahorran en los distintos niveles de ingreso.
Si las familias disminuye el nivel de consumo, y aumenta el ingreso disponible, la proporción que ahorraran es cada vez mayor.

Propensión Media a consumir

Es el porcentaje del ingreso total que se destina al consumo.

P M C= CONSUMO / INGRESO

Propensión Media a ahorrar

Es el porcentaje del ingreso total que se destina a ahorrar, es decir, lo que no se consumió.

P M A = AHORRO / INGRESO

Propensión Marginal a Consumir

Es el cambio de las cantidades a consumir, debido a un cambio del ingreso disponible.

PMgC= (CAMBIO EN EL CONSUMO) / (CAMBIO EN EL INGRESO)

Propensión Marginal a Ahorrar

Es el cambio de las cantidades a ahorrar, debido a un cambio en el ingreso disponible.

PMgA= (CAMBIO EN EL AHORRO) / (CAMBIO EN EL INGRESO)

Otros determinantes del Consumo y del Ahorro

1. Riqueza
2. Expectativas
3. Deuda de las familias
4. Tributación

Inversión

Es el segundo determinante en el modelo de gastos agregados. La inversión o acumulación de capital, que es la parte de la producción que no se vende, para poder aumentar el capital, y así aumentar los niveles de producción de esa empresa. Se habla de una decisión costo marginal- beneficio marginal. Se dice que la inversión es igual al ahorro, ya que las dos no se destinan al consumo, una por parte de las familias y otras por parte de las empresas.

I=A

Tasa esperada de retorno

Es el beneficio marginal de una inversión, es decir, son las utilidades que se obtuvieron en esa inversión. Gracias a las familias, las empresas indirectamente reciben las utilidades a costa de los primeros ya que mediante el ahorro los sistemas financieros sirven de intermediarios entre los demandantes de dinero (a saber las empresas) y los oferentes del dinero (las familias). En donde los excesos de ahorro sobre inversión (las familias) por medio de estos agentes financieros son puestos a disposición de aquellos agentes cuya inversión supera su ahorro.

Tasa Real de Interés

Es el costo marginal de una inversión, es decir, es el valor o costo de obtener en préstamo el dinero, para que la empresa pueda invertir, en distintos proyectos. En este caso las familias son las que financian directa o indirectamente la inversión, por medio del ahorro, que es la parte del ingreso que no se consume. La mayoría de veces las familias no conocen que son ellas las que financian la inversión, igual la mayoría de casos no toman la decisión de comprar maquinaria y equipo o de realizar otros gastos de inversión real con excepción de la vivienda. Obedeciendo a lo anterior el ahorro es igual a la inversión ya que siendo el ahorro la parte del ingreso que nos se consume y la inversión la parte del producto que no se destina a ser consumida, en cambio a la acumulación de capital para así aumentar la capacidad productiva de la empresa.

T R I = T N – T I

es decir;
TRI= tasa real de interés TI= tasa de inflacion
TN= tasa nominal


Otros determinantes de la inversión

1. Costos de adquisición, mantenimiento y operación
2. Impuestos a las empresas
3. Cambio tecnológico
4. Volumen disponible de bienes de capital
5. Expectativas


Diagrama de inversión

En un diagrama de inversión que debemos tener en cuenta, de cuanto planean invertir las empresas y las familias del ingreso disponible para cada nivel del PIB, como así también se tienen en cuenta en los diagramas de consumo y ahorro de las familias. Para crear estos diagramas se ha de suponer que la inversión es independiente del ingreso disponible. Esto garantiza a las empresas que participan en una economía activa reciban mayores beneficios, y a su vez aumente su inversión. Pero en el caso de que los ingresos de una economía sean bajos, la inversión y los beneficios también lo son.

Inestabilidad de la inversión

El diagrama de inversión es muy inestable, por lo cual se puede desplazar hacia arriba o abajo, que a diferencia del PIB. Esto se debe a que no todas las empresas deciden modernizar toda su planta de producción, o simplemente no hacen mucha inversión en sus instalaciones. Pero en un mundo que constantemente está generando nuevas tecnologías, aumenta la inversión de esta o de las demás industrias relacionadas, pero después de un tiempo todo se encuentra en equilibrio. También influye mucho la volatilidad de los incentivos para invertir, cuando los beneficios sean variables aumenta la inestabilidad de la inversión.


Variación de las expectativas

Las empresas se tienen que enfrentar a expectativas para proyectasen en el futuro, tener en cuenta demasiados escenarios tanto políticos, económicos, social, cultural, etc. Muchas empresas depositan la confianza de la sociedad en el mercado bursátil, siempre buscando que los precios de sus acciones aumente, pero es un mercado muy inestable es muy difícil de mantener, debido a los cambios de la inversión causa las fluctuaciones de la producción y el empleo.

PIB de equilibrio

Los diagramas de consumo, ahorro e inversión para explicar los niveles de producción, ingreso y empleo. Las empresas producen el PIB en producción, salarios, intereses y beneficios, y esperan vender en la misma cantidad, ofreciendo en venta un mayor nivel de producción. El producto de equilibrio es aquel que genera el gasto total necesario para comprarlo. Cuando los gastos agregados son mayores que el PIB, los gastos tienden a elevar el nivel de producción. Y por lo contrario los gastos agregados son menores que el PIB, tiende a reducir la producción y el empleo.

PIB de equilibrio; enfoque proyecciones y filtraciones

Cuando las familias ahorran parte de sus ingresos, el ahorro pasa a ser filtración, y la inversión es una inyección de gasto a la corriente de ingresos-gastos, la inversión complementa el consumo siendo un sustituto del ahorro. Cuando las empresas y las familias desean invertir y ahorrar por debajo del punto de equilibrio del PIB, razón que explica el exceso de gasto total, en este caso las empresas planean invertir más que las familias que ahorran. Y de lo contrario cuando los niveles son superiores al del punto de equilibrio, es inestable ya que las familias tienden a ahorrar más de lo que las empresas planean invertir, causando que la filtración del ahorro no sea compensada por inyección de la inversión.

Inversión planeada e inversión efectiva

En este caso podemos hablar que la inversión y el ahorro son iguales en cuanto a inversión y ahorro efectivo. La inversión efectiva incluye inversión planeada y no planeada, siendo la inversión no planeada el rublo que iguala al ahorro y la inversión en cualquier periodo. En todos los niveles del PIB inferiores al del equilibrio la inversión efectiva es igual al ahorro, porque las reducciones inesperadas de los inventarios se restan de inversión planeada, es cuando la inversión iguala al ahorro.